Чему равна сумма степеней вершин в графе

28.06.2025 в 22:51

В теории графов сумма степеней всех вершин является важной характеристикой, связанной с фундаментальными свойствами графа. Эта величина подчиняется строгим математическим закономерностям.

Основная теорема о сумме степеней

Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер:

• Для любого графа G = (V, E)
• Σ deg(v) = 2|E|
• где V - множество вершин, E - множество рёбер
• deg(v) - степень вершины v

Следствия из теоремы

Примеры для разных типов графов

1. Полный граф Kn: сумма степеней = n(n-1)
2. Цикл Cn: сумма степеней = 2n
3. Дерево с n вершинами: сумма степеней = 2(n-1)
4. Двудольный граф: сумма степеней в каждой доле равна числу рёбер

Практическое применение

• Проверка корректности описания графа
• Анализ сетевых структур
• Оптимизация маршрутов
• Исследование социальных сетей

Знание этого свойства позволяет быстро оценивать основные параметры графа и выявлять ошибки в его описании. Теорема остаётся справедливой для всех типов графов: ориентированных и неориентированных, простых и мультиграфов.